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反正弦函數的值域
我們知道 ，同時 ，
（事實上，有無窮多個實數 使得 ），在定義反三角函數時，就會碰到一個問題： 應該定為 或 呢？或是兩個都可以呢？
（ ）
當然了，一個函數不可能多對一，為了定義反三角”函數”，我們必須作一些抉擇，在數學裡面，最常用的方式就是加一些”條件限制”。也就是說，雖然滿足 的實數 有無窮多個，但是為了使 的反三角函數 的定義符合函數的要求，我們只能在這些無窮多個 中指定一個來當作 的函數值。
在下面我們將使用JSP來讓同學了解，反正弦函數的值域是如何定義的，在這之前，我們先來複習兩個觀念：1.
一個函數 的函數圖形 與其反函數的圖形 ，兩者對稱於直線 ；2. 判別座標平面上一個曲線是否為某一函數的圖形，只要去檢查所有鉛垂線是否與此曲線均恰有一個交點，如果是，則此曲線必為某函數的圖形。
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圖中的O點為原點，斜藍線為直線 ，黑色曲線為 的圖形，而綠色曲線為 在 兩點之間的函數圖形，黃色曲線則為綠色曲線對稱於 的圖形。也就是說，黃色曲線可能為 的圖形。
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圖形中的 兩點可以用滑鼠來拖曳，拖曳時，可觀察到黃色曲線何時才能成為函數圖形(所有鉛垂線與之均恰交於一點時)。這時的CD線段為反正弦函數的值域
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當然了，如果我們將 點移到 ， 點移到 的地方時，黃色曲線可成為某一函數圖形，但比不上我們將 點移到 ，B點移到 的地方時來得”廣”。也就是說，將 的值域定義為 是最廣的一個範圍，也同時滿足函數的要求。
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也可注意到，將值域定義為 也可達到我們的要求，但何必呢？
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想一想反餘弦函數及反正切函數,是否也是用類似的定義方式定義出來?
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