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從『我思故我在』談勒奈·笛卡爾的數學思想

陳俊廷 92.12.15

　　勒奈·笛卡爾(Rene Descartes) (1596年 3月31日~1650年 2月11日)，法國哲學家、數學家、物理學家。他對現代數學的發展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。
　

壹、笛卡爾的出生背景：

笛卡爾生於法國土倫省萊耳市一個地位較低的貴族家庭，父親是布列塔尼議會的議員。在他8歲時笛卡爾就進入拉夫賴士(La Fleche)的耶穌會學校接受教育，受到良好的古典學以及數學訓練。1613年到巴黎學習法律，1616年畢業於普瓦捷大學(Universitéde Poitiers)。畢業後笛卡爾決心遊歷歐洲各地，專心尋求“世界這本大書”中的智慧。因此他於1618年在荷蘭入伍，隨軍遠遊。1621年笛卡爾退伍，並在1628年移居荷蘭，在那裏住了20多年。在此期間，笛卡爾專心致力於哲學研究，並逐漸形成自己的思想。1649年笛卡爾受瑞典女王之邀來到斯德哥爾摩，但不幸在這片“熊、冰雪與岩石的土地”上得了肺炎，並在1650年 2月去世。1663年他的著作在羅馬和巴黎被列入禁書之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是為了對當時在法國流行起來的牛頓世界體系提供一個替代的東西。
　

貳、笛卡爾創立了解析幾何學

一、笛卡爾被廣泛認為是西方現代哲學的奠基者

笛卡爾是西方現代哲學思想的奠基人，他的哲學思想深深影響了之後的幾代歐洲人，創立了“歐陸理性主義”(Continental Rationalism)哲學。這是一套完整的哲學體系。在哲學上笛卡爾是一個二元論者以及理性主義者。笛卡爾認為，人類應該可以使用數學的方法『理性』來進行哲學思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。（他舉出了一個例子：在我們做夢時，我們以為自己身在一個真實的世界中，然而其實這只是一種幻覺而已）。

二、笛卡爾運用哲學思想理論創立了解析幾何學

笛卡爾從邏輯學、幾何學和代數學中發現了四條規則：(一)除了清楚明白的觀念外，絕不接受其他任何東西；(二)必須將每個問題分成若干個簡單的部分來處理；(三)思想必須從簡單到複雜；(四)我們應該時常進行徹底的檢查，確保沒有遺漏任何東西。笛卡爾將這種方法不僅運用在哲學思考上，還運用於幾何學，並創立了解析幾何學。
　

參、笛卡爾認為"線是點運動的結果"

笛卡爾的數學成就與他的數學觀有密切關係。在他的哲學著作中有許多地方展現出他對數學的看法。他主張把邏輯、幾何、代數三者的優點結合起來而丟棄它們的缺點，從而建立起一種真正的普遍的數學。笛卡爾的主要數學成果則集中於《幾何學》這部書中。笛卡爾對幾何學的偉大貢獻是發明坐標幾何。當然還不完全是最後形式的坐標幾何。他在《幾何學》一書中說："在分析問題中，若認為該問題可解時，首先把要求出的線段和所求的未知量，用名稱表達出。然後，弄清已知和未知線段的關係，按照正確的邏輯順序，用兩種方法來表示同一量，並建立相等的關係，把最後得到的式子叫做方程式。"

顯然，笛卡爾幾何是以"解析"作為方法的，即把對圖形的研究轉化為對方程式的研究。這充分顯示了笛卡爾的卓越睿智，這的確是幾何學研究中的一次大革命。在這種思想指導下，他引入"坐標"觀念。當滿足方程式的變數(x，y)變化時，坐標(x，y)的點畫出的是曲線。希臘人認為"線是點的集合"，笛卡爾卻認為"線是點運動的結果"。由此看出，笛卡爾關於"線"的定義與希臘人的顯著區別在於"動"與"靜"。這種思維方法給牛頓等大數學家有很大的影響。
　

肆、笛卡爾對科學的貢獻

一、笛卡爾在數學上最重要的貢獻是創立了解析幾何學

笛卡爾成功地將當時將當時完全分開的代數學和幾何學聯繫到了一起。在他的著作《幾何學》中，笛卡爾向世人證明，幾何問題可以歸結成代數問題，也可以通過代數轉換來發現、證明幾何性質。笛卡爾引入了坐標系以及線段的運算概念。笛卡爾在數學上的成就為後人在微積分上的工作提供了堅實的基礎，而後者又是現代數學的重要基石。

二、笛卡爾在物理學方面發現了動量守恆原理

另外在物理學方面，笛卡爾也有所建樹。他在《屈光學》中首次對折射定律提出了理論論證。他還解釋了人的視力失常的原因，並設計了矯正視力的透鏡。力學上笛卡爾則發展了伽利略運動相對性的理論，強調了慣性運動的直線性。笛卡爾發現了動量守恆原理。
　

伍、結論與感言

　　作者發現笛卡爾主張對每一件事情都進行懷疑，而不能信任我們的感官。從這裏他悟出一個道理：他必須承認的一件事就是他自己在懷疑。而當人在懷疑時，他必定在思考，由此他推出了著名的基本公式“我思故我在”(Cogito ergo sum)。

笛卡爾當時創立了坐標幾何，但還沒有引入現今通用的直角坐標系。但笛卡爾坐標幾何的建立，實現了用代數來研究幾何，為數學引入新的思想，使代數方程式和曲線圖形聯繫起來，並引入了x與y之變數，從而改變了數學的面貌，使幾何的目標可以通過代數方程式來達到所求，而代數方程式的語言可以用幾何圖形來解釋。然而笛卡爾的思想，對數學的發展產生了深遠的影響，作者深刻感受到笛卡爾不愧為是一位劃時代的傑出數學家。